
线性代数二
线性代数应该怎样学
线性映射
向量空间的积与商
积
- 定义
V1XV2X….Vm={(v1,….vm)}
积的维数等于维数的和
设V1,V2,V3…..Vm均为有限维向量空间,则V1V2……Vn是有限维的,且dim(V1V2…..Vn)= dim(Vi)积为直和当且仅当维数相加
商
定义商空间(V/U)
设U是V的子空间,则商空间V/U是指所有平行于U的仿射子集的集合
V/U={v+U:v∈V}
平行于U的两个仿射子集或相等或不相交,则有以下等价描述
- v-w∈V
- v+U=w+U
- (v+U)∩(w+U)≠空集
定义V/U上的加法和标量乘法
(v+U)+(w+U)=(v+w)+U
- 商空间是向量空间
定义商映射
商映射
商空间的维数
设V是有限维的,U是V的子空间,则dimV/U=dimV-dimU
定义一个映射
性质:
是线性映射 是单的- range
=rangeT - V/(nullT)同构于rangeT
对偶
对偶空间与对偶映射
线性泛函:V上的线性泛函是从V到F的线性映射
对偶空间
V上所有线性泛函构成的向量空间 记作$V^$ 且dimV=dim$V^
$(前提条件是V是有限维的)
定义对偶基
设v1,v2…..vn是V的基,则v1,v2……vn的对偶基是
使得
对偶基是对偶空间的基
定义对偶映射
对于一个映射T,其对偶映射
对偶映射的代数性质
- 对所有的S,T有
= + - 对所有的
和T,有( T) = T - 对于S,T两个线性映射,(ST)
=T S
两个单满性质
- T是满的等价于T
是单的 - T是单的等价于T
是满的
线性映射的对偶的零空间和值域
定义零化子
对于U含于V,U的零化子U。={
∈V :对所有的u∈U都有 (u)=0}零化子是子空间
零化子的维数
设V是有限维的,U是V的子空间,则dimU+dimU。=dimV
对偶映射的零空间
设V和W都是有限维的
- nullT
=(rangeT)。 - dim nullT
=dim nullT+dim W -dim V
T 的值域
均在有限维下讨论
- dim rangeT
=dim rangeT - range T
=(null T)。
T 的矩阵是T矩阵的转置
本征值、本征向量、不变子空间
不变子空间
定义
设T,如果对每个u∈U,都有Tu属于U,则称呼V的子空间U在T下不变
本征值与本征向量
本征值的等价条件
是T的本征值- T-
I不是单的 - T-
I不是满的 - T-
I不是可逆的
线性无关的本征向量
对于给定的线性映射而言,互不相同的本征值相应的本征向量线性无关
本征值的个数
每个算子最多有dimV个本征值
限制算子与商算子
商算子T/U 定义为:(T/U)(v+U)=Tv+U
本征向量和上三角矩阵
本征值的存在性
有限维复向量空间上的算子都有本征值
上三角矩阵
上三角矩阵的条件
- T关于一组基的矩阵是上三角的
- 对每个j=1,….n有Tvj∈span(v1,….vj)
- 对每个j=1,….n有span(v1,…vj)在T下不变
在C上,每个算子均有上三角矩阵能由上三角矩阵确定可逆性与本征值
本征空间与对角矩阵
定义本征空间:T相应于
的本征空间定义为E( ,T)=null(T- I),也就是说是T的相应于 的全体本征向量加上0向量的集合定义可对角化:算子T如果对于V的某个基有对角矩阵,则称算子可对角化
可对角化的等价条件
- T可对角化
- V有由T的本征向量构成的基
- V有在T的不变的一维子空间使得它们的直和等于V
- V=E(
i,T)的直和 - dimV=dimE(
i,T)的和
本征值足够多则可对角化
内积空间
内积与范数
定义内积
性质:
- 正性
≥0 - 定性
=0,当且仅当v=0 - 第一个位置的加性:
= + - 第一个位置的齐性:<
u,v>= - 共轭对称性:
=< >
补充性质:
- 对每个取定的u,将v变为
的函数是线性映射 = +- <u,
v>=
范数
范数定义
||v||=
范数基本性质
- ||v||=0当且仅当v=0
- ||
v||=| |||v||
正交
定义: 若
正交的性质
- 0正交于V中的任意向量
- 0是V中唯一与自身正交的向量
正交分解
规范正交基
定义:一个向量组中的每个向量的范数都是1且与其他向量正交,则称这个向量组是规范正交的
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important 格拉姆施密特正交化
v1,….vm是线性无关向量组。设e1=v1/||v1||,对于ej,j=2….m,
定义ej如下:ej=
important 将向量写成规范正交基的线性组合
设e1,…..en是V的规范正交基
则v=
且||v||
规范正交组是线性无关的
适当长度的规范正交组是规范正交基
有限维内积空间中规范正交基的存在性
规范正交组扩充为规范正交基
关于规范正交基的上三角矩阵
舒尔定理
- 结合上一个定理与复向量空间中算子关于某个基有上三角矩阵
内积空间上的线性泛函
里斯表示定理
- 设V是有限维的,且
是V上的线性泛函,则存在唯一的向量u∈V使得对每个v∈V均有 (v)= - v=
e1+…. en - 取u =
e1+…..+ en
正交补与极小化问题
正交补
正交补定义
U是V的子集,U的正交补U
正交补基本性质
- U
是V的子空间 - {0}
=V - V
={0} - 若U是V的子集,则U∩U
含于{0} - U含于W,则W
含于U
正交补的补充性质
- 子空间与其正交补的直和为V
- dimU
=dimV-dimU - 正交补的正交补为原空间
极小化问题
正交投影的定义
Pu定义如下:对v∈V,将其写成v=u+w,其中u∈U且w∈U
正交投影Pu的性质
- range Pu=U
- null Pu=U
- v-Puv∈U
- ||Puv||≤||v||
- 对U的每个规范正交基e1,….em均有Puv=
e1+…. em
到子空间的最小距离
设U是V的有限子空间,v∈V且u∈U,则||v-Puv||≤||v-u||,等号成立时当且仅当Puv=u
内积空间上的算子
自伴算子与正规算子
伴随
伴随的定义
T的伴随定义为T
伴随的性质
自伴算子
自伴算子的本征值是实的
仅自伴算子才能使 都是实数
若T自伴,且对所有v均有 =0,则T=0
正规算子
T是正规的当且仅当对所有v均有||Tv||=||T v||
T与T 有相同的本征向量只是本征值呈共轭状态
正规算子相对于不同本征值的本征向量正交
谱定理
复谱定理
设F=C,三个条件等价:
- T是正规的
- V有一个由T的本征向量组成的规范正交基
- T关于V的某个规范正交基有对角矩阵
实谱定理
- T是自伴的
- V有一个由T的本征向量组成的规范正交基
- T关于V的某个规范正交基具有对角矩阵
正算子与等距同构
正算子
正算子的定义
T是自伴的,且对所有v∈V,均有
正算子的刻画
下述条件等价:
- T是正的
- T是自伴的且T的所有本征值非负
- T有正的平方根
- T有自伴的平方根
- 存在算子R使得T=R*R
每个正算子都有唯一的正平方根
等距同构
等距同构的定义
对所有v,均有||Sv||=||v||
等距同构的刻画
下述条件等价:
- S是等距同构
- 对所有v,u有
= - 保持规范正交组的规范正交性
- S*S=I
- SS*=I
- S*是等距同构
- S是可逆的,且S*=S
极分解和奇异值分解
积分解
一个记号
极分解
设T∈L(V),则有一个等距同构S使得T=S
奇异值分解
奇异值的定义
T的奇异值是$\sqrt{T^T}
奇异值分解喵
设T有奇异值s1,…..sn,则V有两个规范正交基e1,…..en和f1,…..fn使得对每个v∈V均有Tv=s1