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线性代数二

线性代数二

线性代数应该怎样学

线性映射

向量空间的积与商

  • 定义

V1XV2X….Vm={(v1,….vm)}

  • 积的维数等于维数的和
    设V1,V2,V3…..Vm均为有限维向量空间,则V1V2……Vn是有限维的,且dim(V1V2…..Vn)=$\sum_{i=1}^{n}$dim(Vi)

  • 积为直和当且仅当维数相加

定义商空间(V/U)

设U是V的子空间,则商空间V/U是指所有平行于U的仿射子集的集合
V/U={v+U:v∈V}

平行于U的两个仿射子集或相等或不相交,则有以下等价描述
  1. v-w∈V
  2. v+U=w+U
  3. (v+U)∩(w+U)≠空集
定义V/U上的加法和标量乘法

(v+U)+(w+U)=(v+w)+U
$\lambda$(v+U)=$\lambda$v+U

  • 商空间是向量空间
定义商映射

商映射$\pi$,对任意v属于V,$\pi$(v)=v+U

商空间的维数

设V是有限维的,U是V的子空间,则dimV/U=dimV-dimU

定义一个映射$T^·$

$T^·$(v+nullT)=Tv
性质:

  1. $T^·$是线性映射
  2. $T^·$是单的
  3. range$T^·$=rangeT
  4. V/(nullT)同构于rangeT

对偶

对偶空间与对偶映射

线性泛函:V上的线性泛函是从V到F的线性映射
对偶空间

V上所有线性泛函构成的向量空间 记作$V^$ 且dimV=dim$V^$(前提条件是V是有限维的)

定义对偶基

设v1,v2…..vn是V的基,则v1,v2……vn的对偶基是$V^`$中的元素组$\phi$1…..$\phi$n,其中每个$\phi$j都是V上的线性泛函,
使得$\phi$j(vk)=1(当k=j),0(当k≠j)

对偶基是对偶空间的基
定义对偶映射 $T^,$

对于一个映射T,其对偶映射$T^,$,且对于$\phi$∈$W^`$,$T^,$$\phi$=$\phi$*T

对偶映射的代数性质
  1. 对所有的S,T有$(S+T)^,$=$S^,$+$T^,$
  2. 对所有的$\lambda$和T,有($\lambda$T)$^,$=$\lambda$T$^,$
  3. 对于S,T两个线性映射,(ST)$^,$=T$^,$S$^,$
两个单满性质
  • T是满的等价于T$^,$是单的
  • T是单的等价于T$^,$是满的

线性映射的对偶的零空间和值域

定义零化子
  • 对于U含于V,U的零化子U={$\phi$∈V$^`$:对所有的u∈U都有$\phi$(u)=0}

  • 零化子是子空间

零化子的维数

设V是有限维的,U是V的子空间,则dimU+dimU=dimV

对偶映射的零空间

设V和W都是有限维的

  • nullT$^,$=(rangeT)
  • dim nullT$^,$=dim nullT+dim W -dim V
T$^,$的值域

均在有限维下讨论

  • dim rangeT$^,$=dim rangeT
  • range T$^,$=(null T)
T$^,$的矩阵是T矩阵的转置

本征值、本征向量、不变子空间

不变子空间

定义

设T,如果对每个u∈U,都有Tu属于U,则称呼V的子空间U在T下不变

本征值与本征向量

本征值的等价条件
  1. $\lambda$是T的本征值
  2. T-$\lambda$I不是单的
  3. T-$\lambda$I不是满的
  4. T-$\lambda$I不是可逆的
线性无关的本征向量

对于给定的线性映射而言,互不相同的本征值相应的本征向量线性无关

本征值的个数

每个算子最多有dimV个本征值

限制算子与商算子

商算子T/U 定义为:(T/U)(v+U)=Tv+U

本征向量和上三角矩阵

本征值的存在性

有限维复向量空间上的算子都有本征值

上三角矩阵

上三角矩阵的条件
  • T关于一组基的矩阵是上三角的
  • 对每个j=1,….n有Tvj∈span(v1,….vj)
  • 对每个j=1,….n有span(v1,…vj)在T下不变
在C上,每个算子均有上三角矩阵能由上三角矩阵确定可逆性与本征值

本征空间与对角矩阵

  • 定义本征空间:T相应于$\lambda$的本征空间定义为E($\lambda$,T)=null(T-$\lambda$I),也就是说是T的相应于$\lambda$的全体本征向量加上0向量的集合

  • 定义可对角化:算子T如果对于V的某个基有对角矩阵,则称算子可对角化

可对角化的等价条件

  • T可对角化
  • V有由T的本征向量构成的基
  • V有在T的不变的一维子空间使得它们的直和等于V
  • V=E($\lambda$i,T)的直和
  • dimV=dimE($\lambda$i,T)的和
本征值足够多则可对角化

内积空间

内积与范数

定义内积
性质:

  • 正性$<v,v>$≥0
  • 定性$<v,v>$=0,当且仅当v=0
  • 第一个位置的加性:$<u+v,w>$=$<u,w>$+$<v,w>$
  • 第一个位置的齐性:<$\lambda$u,v>=$\lambda$$<u,v>$
  • 共轭对称性:$<u,v>$=<$\bar{v,u}$>

补充性质:

  • 对每个取定的u,将v变为$<v,u>$的函数是线性映射
  • $<u,v+w>$=$<u,v>$+$<u,w>$
  • <u,$\lambda$v>=$\overline{\lambda}$$<u,v>$

范数

范数定义

||v||=$\sqrt{<v,v>}$

范数基本性质
  • ||v||=0当且仅当v=0
  • ||$\lambda$v||=|$\lambda$|||v||

正交

定义: 若 $<u,v>$=0,则称u,v是正交的

正交的性质
  • 0正交于V中的任意向量
  • 0是V中唯一与自身正交的向量
正交分解

规范正交基

定义:一个向量组中的每个向量的范数都是1且与其他向量正交,则称这个向量组是规范正交的

some important of this chapter

important 格拉姆施密特正交化

v1,….vm是线性无关向量组。设e1=v1/||v1||,对于ej,j=2….m,
定义ej如下:ej=$\frac{(vj-<vj,e1>e1-….<vj,ej-1>ej-1)}{||vj-<vj,e1>e1-….<vj,ej-1>ej-1||}$

important 将向量写成规范正交基的线性组合

设e1,…..en是V的规范正交基
则v=$<v,e1>$e1+….$<v,en>$en
且||v||$^2$=|$<v,e1>$|$^2$+…+|$<v,en>$|$^2$

规范正交组是线性无关的
适当长度的规范正交组是规范正交基
有限维内积空间中规范正交基的存在性
规范正交组扩充为规范正交基
关于规范正交基的上三角矩阵
舒尔定理
  • 结合上一个定理与复向量空间中算子关于某个基有上三角矩阵

内积空间上的线性泛函

里斯表示定理
  • 设V是有限维的,且$\phi$是V上的线性泛函,则存在唯一的向量u∈V使得对每个v∈V均有$\phi$(v)=$<v,u>$
  • v=$<v,e1>$e1+….$<v,en>$en
  • 取u = $\overline{\phi(e1)}$e1+…..+$\overline{\phi(en)}$en

正交补与极小化问题

正交补

正交补定义

U是V的子集,U的正交补U$^\perp$={v∈V:对每个u属于U,均有$<v,u>$=0}

正交补基本性质
  • U$^\perp$是V的子空间
  • {0}$^\perp$=V
  • V$^\perp$={0}
  • 若U是V的子集,则U∩U$^\perp$含于{0}
  • U含于W,则W$^\perp$含于U$^\perp$
正交补的补充性质
  • 子空间与其正交补的直和为V
  • dimU$^\perp$=dimV-dimU
  • 正交补的正交补为原空间

极小化问题

正交投影的定义

Pu定义如下:对v∈V,将其写成v=u+w,其中u∈U且w∈U$^\perp$,则Pu(v)=u

正交投影Pu的性质
  • range Pu=U
  • null Pu=U$^\perp$
  • v-Puv∈U$^\perp$
  • ||Puv||≤||v||
  • 对U的每个规范正交基e1,….em均有Puv=$<v,e1>$e1+….$<v,em>$em
到子空间的最小距离

设U是V的有限子空间,v∈V且u∈U,则||v-Puv||≤||v-u||,等号成立时当且仅当Puv=u

内积空间上的算子

自伴算子与正规算子

伴随

伴随的定义

T的伴随定义为T$^*$:对所有v∈V和所有w属于W均有$<Tv,w>$=$<v,T$*$w>$

伴随的性质

自伴算子

自伴算子的本征值是实的
仅自伴算子才能使$<Tv,v>$都是实数
若T自伴,且对所有v均有$<Tv,v>$=0,则T=0

正规算子

T是正规的当且仅当对所有v均有||Tv||=||T$^*$v||
T与T$^*$有相同的本征向量只是本征值呈共轭状态
正规算子相对于不同本征值的本征向量正交

谱定理

复谱定理

设F=C,三个条件等价:

  • T是正规的
  • V有一个由T的本征向量组成的规范正交基
  • T关于V的某个规范正交基有对角矩阵

实谱定理

  • T是自伴的
  • V有一个由T的本征向量组成的规范正交基
  • T关于V的某个规范正交基具有对角矩阵

正算子与等距同构

正算子

正算子的定义

T是自伴的,且对所有v∈V,均有$<Tv,v>$≥0

正算子的刻画

下述条件等价:

  • T是正的
  • T是自伴的且T的所有本征值非负
  • T有正的平方根
  • T有自伴的平方根
  • 存在算子R使得T=R*R
每个正算子都有唯一的正平方根

等距同构

等距同构的定义

对所有v,均有||Sv||=||v||

等距同构的刻画

下述条件等价:

  • S是等距同构
  • 对所有v,u有$<Su,Sv>$=$<u,v>$
  • 保持规范正交组的规范正交性
  • S*S=I
  • SS*=I
  • S*是等距同构
  • S是可逆的,且S*=S$^{-1}$

极分解和奇异值分解

积分解

一个记号

$\sqrt{T}$表示T的唯一正平方根

极分解

设T∈L(V),则有一个等距同构S使得T=S$\sqrt{T^*T}$

奇异值分解

奇异值的定义

T的奇异值是$\sqrt{T^T}$的本征值,而且每个本征值$\lambda$都要重复dim E($\lambda$,$\sqrt{T^T}$)次

奇异值分解喵

设T有奇异值s1,…..sn,则V有两个规范正交基e1,…..en和f1,…..fn使得对每个v∈V均有Tv=s1$<v,e1>$f1+…..+sn$<v,en>$fn

观众老爷能赏口饭吃吗

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本文作者:Lane
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