线性代数二

线性代数应该怎样学

线性映射

向量空间的积与商

积

• 定义

V1XV2X….Vm={(v1,….vm)}

• 积的维数等于维数的和
  设V1,V2,V3…..Vm均为有限维向量空间，则V1V2……Vn是有限维的，且dim(V1V2…..Vn)=$\sum _{i=1}^n$dim(Vi)

• 积为直和当且仅当维数相加

商

定义商空间(V/U)

设U是V的子空间，则商空间V/U是指所有平行于U的仿射子集的集合
V/U={v+U：v∈V}

平行于U的两个仿射子集或相等或不相交，则有以下等价描述

1. v-w∈V
2. v+U=w+U
3. (v+U)∩(w+U)≠空集

定义V/U上的加法和标量乘法

(v+U)+(w+U)=(v+w)+U
$\lambda$(v+U)=$\lambda$v+U

• 商空间是向量空间

定义商映射

商映射$\pi$,对任意v属于V，$\pi$(v)=v+U

商空间的维数

设V是有限维的，U是V的子空间，则dimV/U=dimV-dimU

定义一个映射$T^{·}$

$T^{·}$(v+nullT)=Tv
性质：

1. $T^{·}$是线性映射
2. $T^{·}$是单的
3. range$T^{·}$=rangeT
4. V/(nullT)同构于rangeT

对偶

对偶空间与对偶映射

线性泛函：V上的线性泛函是从V到F的线性映射

对偶空间

V上所有线性泛函构成的向量空间 记作$V^$ 且dimV=dim$V^$(前提条件是V是有限维的)

定义对偶基

设v1,v2…..vn是V的基，则v1,v2……vn的对偶基是$V^{‘}$中的元素组$\varphi$1…..$\varphi$n,其中每个$\varphi$j都是V上的线性泛函，
使得$\varphi$j(vk)=1(当k=j)，0(当k≠j)

对偶基是对偶空间的基

定义对偶映射 $T^{,}$

对于一个映射T，其对偶映射$T^{,}$,且对于$\varphi$∈$W^{‘}$,$T^{,}$$\varphi$=$\varphi$*T

对偶映射的代数性质

1. 对所有的S,T有$(S+T{)}^{,}$=$S^{,}$+$T^{,}$
2. 对所有的$\lambda$和T，有($\lambda$T)${}^{,}$=$\lambda$T${}^{,}$
3. 对于S，T两个线性映射，(ST)${}^{,}$=T${}^{,}$S${}^{,}$

两个单满性质

• T是满的等价于T${}^{,}$是单的
• T是单的等价于T${}^{,}$是满的

线性映射的对偶的零空间和值域

定义零化子

• 对于U含于V，U的零化子U^。={$\varphi$∈V${}^{‘}$:对所有的u∈U都有$\varphi$(u)=0}

• 零化子是子空间

零化子的维数

设V是有限维的，U是V的子空间，则dimU+dimU^。=dimV

对偶映射的零空间

设V和W都是有限维的

• nullT${}^{,}$=(rangeT)^。
• dim nullT${}^{,}$=dim nullT+dim W -dim V

T${}^{,}$的值域

均在有限维下讨论

• dim rangeT${}^{,}$=dim rangeT
• range T${}^{,}$=(null T)^。

T${}^{,}$的矩阵是T矩阵的转置

本征值、本征向量、不变子空间

不变子空间

定义

设T，如果对每个u∈U，都有Tu属于U，则称呼V的子空间U在T下不变

本征值与本征向量

本征值的等价条件

1. $\lambda$是T的本征值
2. T-$\lambda$I不是单的
3. T-$\lambda$I不是满的
4. T-$\lambda$I不是可逆的

线性无关的本征向量

对于给定的线性映射而言，互不相同的本征值相应的本征向量线性无关

本征值的个数

每个算子最多有dimV个本征值

限制算子与商算子

商算子T/U 定义为：(T/U)(v+U)=Tv+U

本征向量和上三角矩阵

本征值的存在性

有限维复向量空间上的算子都有本征值

上三角矩阵

上三角矩阵的条件

• T关于一组基的矩阵是上三角的
• 对每个j=1,….n有Tvj∈span(v1,….vj)
• 对每个j=1,….n有span(v1,…vj)在T下不变

在C上，每个算子均有上三角矩阵能由上三角矩阵确定可逆性与本征值

本征空间与对角矩阵

• 定义本征空间：T相应于$\lambda$的本征空间定义为E($\lambda$,T)=null(T-$\lambda$I),也就是说是T的相应于$\lambda$的全体本征向量加上0向量的集合

• 定义可对角化：算子T如果对于V的某个基有对角矩阵，则称算子可对角化

可对角化的等价条件

• T可对角化
• V有由T的本征向量构成的基
• V有在T的不变的一维子空间使得它们的直和等于V
• V=E($\lambda$i,T)的直和
• dimV=dimE($\lambda$i,T)的和

本征值足够多则可对角化

内积空间

内积与范数

定义内积
性质：

• 正性$<v,v>$≥0
• 定性$<v,v>$=0,当且仅当v=0
• 第一个位置的加性：$<u+v,w>$=$<u,w>$+$<v,w>$
• 第一个位置的齐性：<$\lambda$u,v>=$\lambda$$<u,v>$
• 共轭对称性：$<u,v>$=<$\overline{v,u}$>

补充性质：

• 对每个取定的u，将v变为$<v,u>$的函数是线性映射
• $<u,v+w>$=$<u,v>$+$<u,w>$
• <u,$\lambda$v>=$\bar{\lambda }$$<u,v>$

范数

范数定义

||v||=$\sqrt{<v,v>}$

范数基本性质

• ||v||=0当且仅当v=0
• ||$\lambda$v||=|$\lambda$|||v||

正交

定义： 若 $<u,v>$=0,则称u，v是正交的

正交的性质

• 0正交于V中的任意向量
• 0是V中唯一与自身正交的向量

正交分解

规范正交基

定义：一个向量组中的每个向量的范数都是1且与其他向量正交，则称这个向量组是规范正交的

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important 格拉姆施密特正交化

v1,….vm是线性无关向量组。设e1=v1/||v1||,对于ej,j=2….m,
定义ej如下:ej=$\frac{(vj-<vj,e1>e1-\dots .<vj,ej-1>ej-1)}{||vj-<vj,e1>e1-\dots .<vj,ej-1>ej-1||}$

important 将向量写成规范正交基的线性组合

设e1,…..en是V的规范正交基
则v=$<v,e1>$e1+….$<v,en>$en
且||v||${}^2$=|$<v,e1>$|${}^2$+…+|$<v,en>$|${}^2$

规范正交组是线性无关的

适当长度的规范正交组是规范正交基

有限维内积空间中规范正交基的存在性

规范正交组扩充为规范正交基

关于规范正交基的上三角矩阵

舒尔定理

• 结合上一个定理与复向量空间中算子关于某个基有上三角矩阵

内积空间上的线性泛函

里斯表示定理

• 设V是有限维的，且$\varphi$是V上的线性泛函，则存在唯一的向量u∈V使得对每个v∈V均有$\varphi$(v)=$<v,u>$
• v=$<v,e1>$e1+….$<v,en>$en
• 取u = $\overline{\varphi (e1)}$e1+…..+$\overline{\varphi (en)}$en

正交补与极小化问题

正交补

正交补定义

U是V的子集，U的正交补U${}^{\perp }$={v∈V：对每个u属于U，均有$<v,u>$=0}

正交补基本性质

• U${}^{\perp }$是V的子空间
• {0}${}^{\perp }$=V
• V${}^{\perp }$={0}
• 若U是V的子集，则U∩U${}^{\perp }$含于{0}
• U含于W,则W${}^{\perp }$含于U${}^{\perp }$

正交补的补充性质

• 子空间与其正交补的直和为V
• dimU${}^{\perp }$=dimV-dimU
• 正交补的正交补为原空间

极小化问题

正交投影的定义

Pu定义如下：对v∈V，将其写成v=u+w，其中u∈U且w∈U${}^{\perp }$,则Pu(v)=u

正交投影Pu的性质

• range Pu=U
• null Pu=U${}^{\perp }$
• v-Puv∈U${}^{\perp }$
• ||Puv||≤||v||
• 对U的每个规范正交基e1,….em均有Puv=$<v,e1>$e1+….$<v,em>$em

到子空间的最小距离

设U是V的有限子空间，v∈V且u∈U，则||v-Puv||≤||v-u||，等号成立时当且仅当Puv=u

内积空间上的算子

自伴算子与正规算子

伴随

伴随的定义

T的伴随定义为T${}^{\ast }$:对所有v∈V和所有w属于W均有$<Tv,w>$=$<v,T$*$w>$

伴随的性质

自伴算子

自伴算子的本征值是实的

仅自伴算子才能使$<Tv,v>$都是实数

若T自伴，且对所有v均有$<Tv,v>$=0,则T=0

正规算子

T是正规的当且仅当对所有v均有||Tv||=||T${}^{\ast }$v||

T与T${}^{\ast }$有相同的本征向量只是本征值呈共轭状态

正规算子相对于不同本征值的本征向量正交

谱定理

复谱定理

设F=C，三个条件等价：

• T是正规的
• V有一个由T的本征向量组成的规范正交基
• T关于V的某个规范正交基有对角矩阵

实谱定理

• T是自伴的
• V有一个由T的本征向量组成的规范正交基
• T关于V的某个规范正交基具有对角矩阵

正算子与等距同构

正算子

正算子的定义

T是自伴的，且对所有v∈V，均有$<Tv,v>$≥0

正算子的刻画

下述条件等价：

• T是正的
• T是自伴的且T的所有本征值非负
• T有正的平方根
• T有自伴的平方根
• 存在算子R使得T=R*R

每个正算子都有唯一的正平方根

等距同构

等距同构的定义

对所有v，均有||Sv||=||v||

等距同构的刻画

下述条件等价：

• S是等距同构
• 对所有v，u有$<Su,Sv>$=$<u,v>$
• 保持规范正交组的规范正交性
• S*S=I
• SS*=I
• S*是等距同构
• S是可逆的，且S*=S${}^{-1}$

极分解和奇异值分解

积分解

一个记号

$\sqrt{T}$表示T的唯一正平方根

极分解

设T∈L(V)，则有一个等距同构S使得T=S$\sqrt{T^{\ast }T}$

奇异值分解

奇异值的定义

T的奇异值是$\sqrt{T^T}$\mathrm{的}\mathrm{本}\mathrm{征}\mathrm{值}，\mathrm{而}\mathrm{且}\mathrm{每}\mathrm{个}\mathrm{本}\mathrm{征}\mathrm{值}$\lambda$\mathrm{都}\mathrm{要}\mathrm{重}\mathrm{复}dimE($\lambda$,$\sqrt{T^T}$)次

奇异值分解喵

设T有奇异值s1,…..sn,则V有两个规范正交基e1,…..en和f1,…..fn使得对每个v∈V均有Tv=s1$<v,e1>$f1+…..+sn$<v,en>$fn