线性代数二
线性代数应该怎样学
线性映射
向量空间的积与商
积
- 定义
V1XV2X….Vm={(v1,….vm)}
积的维数等于维数的和
设V1,V2,V3…..Vm均为有限维向量空间,则V1V2……Vn是有限维的,且dim(V1V2…..Vn)=$\sum_{i=1}^{n}$dim(Vi)积为直和当且仅当维数相加
商
定义商空间(V/U)
设U是V的子空间,则商空间V/U是指所有平行于U的仿射子集的集合
V/U={v+U:v∈V}
平行于U的两个仿射子集或相等或不相交,则有以下等价描述
- v-w∈V
- v+U=w+U
- (v+U)∩(w+U)≠空集
定义V/U上的加法和标量乘法
(v+U)+(w+U)=(v+w)+U
$\lambda$(v+U)=$\lambda$v+U
- 商空间是向量空间
定义商映射
商映射$\pi$,对任意v属于V,$\pi$(v)=v+U
商空间的维数
设V是有限维的,U是V的子空间,则dimV/U=dimV-dimU
定义一个映射$T^·$
$T^·$(v+nullT)=Tv
性质:
- $T^·$是线性映射
- $T^·$是单的
- range$T^·$=rangeT
- V/(nullT)同构于rangeT
对偶
对偶空间与对偶映射
线性泛函:V上的线性泛函是从V到F的线性映射
对偶空间
V上所有线性泛函构成的向量空间 记作$V^$ 且dimV=dim$V^
$(前提条件是V是有限维的)
定义对偶基
设v1,v2…..vn是V的基,则v1,v2……vn的对偶基是$V^`$中的元素组$\phi$1…..$\phi$n,其中每个$\phi$j都是V上的线性泛函,
使得$\phi$j(vk)=1(当k=j),0(当k≠j)
对偶基是对偶空间的基
定义对偶映射 $T^,$
对于一个映射T,其对偶映射$T^,$,且对于$\phi$∈$W^`$,$T^,$$\phi$=$\phi$*T
对偶映射的代数性质
- 对所有的S,T有$(S+T)^,$=$S^,$+$T^,$
- 对所有的$\lambda$和T,有($\lambda$T)$^,$=$\lambda$T$^,$
- 对于S,T两个线性映射,(ST)$^,$=T$^,$S$^,$
两个单满性质
- T是满的等价于T$^,$是单的
- T是单的等价于T$^,$是满的
线性映射的对偶的零空间和值域
定义零化子
对于U含于V,U的零化子U。={$\phi$∈V$^`$:对所有的u∈U都有$\phi$(u)=0}
零化子是子空间
零化子的维数
设V是有限维的,U是V的子空间,则dimU+dimU。=dimV
对偶映射的零空间
设V和W都是有限维的
- nullT$^,$=(rangeT)。
- dim nullT$^,$=dim nullT+dim W -dim V
T$^,$的值域
均在有限维下讨论
- dim rangeT$^,$=dim rangeT
- range T$^,$=(null T)。
T$^,$的矩阵是T矩阵的转置
本征值、本征向量、不变子空间
不变子空间
定义
设T,如果对每个u∈U,都有Tu属于U,则称呼V的子空间U在T下不变
本征值与本征向量
本征值的等价条件
- $\lambda$是T的本征值
- T-$\lambda$I不是单的
- T-$\lambda$I不是满的
- T-$\lambda$I不是可逆的
线性无关的本征向量
对于给定的线性映射而言,互不相同的本征值相应的本征向量线性无关
本征值的个数
每个算子最多有dimV个本征值
限制算子与商算子
商算子T/U 定义为:(T/U)(v+U)=Tv+U
本征向量和上三角矩阵
本征值的存在性
有限维复向量空间上的算子都有本征值
上三角矩阵
上三角矩阵的条件
- T关于一组基的矩阵是上三角的
- 对每个j=1,….n有Tvj∈span(v1,….vj)
- 对每个j=1,….n有span(v1,…vj)在T下不变
在C上,每个算子均有上三角矩阵能由上三角矩阵确定可逆性与本征值
本征空间与对角矩阵
定义本征空间:T相应于$\lambda$的本征空间定义为E($\lambda$,T)=null(T-$\lambda$I),也就是说是T的相应于$\lambda$的全体本征向量加上0向量的集合
定义可对角化:算子T如果对于V的某个基有对角矩阵,则称算子可对角化
可对角化的等价条件
- T可对角化
- V有由T的本征向量构成的基
- V有在T的不变的一维子空间使得它们的直和等于V
- V=E($\lambda$i,T)的直和
- dimV=dimE($\lambda$i,T)的和
本征值足够多则可对角化
内积空间
内积与范数
定义内积
性质:
- 正性$<v,v>$≥0
- 定性$<v,v>$=0,当且仅当v=0
- 第一个位置的加性:$<u+v,w>$=$<u,w>$+$<v,w>$
- 第一个位置的齐性:<$\lambda$u,v>=$\lambda$$<u,v>$
- 共轭对称性:$<u,v>$=<$\bar{v,u}$>
补充性质:
- 对每个取定的u,将v变为$<v,u>$的函数是线性映射
- $<u,v+w>$=$<u,v>$+$<u,w>$
- <u,$\lambda$v>=$\overline{\lambda}$$<u,v>$
范数
范数定义
||v||=$\sqrt{<v,v>}$
范数基本性质
- ||v||=0当且仅当v=0
- ||$\lambda$v||=|$\lambda$|||v||
正交
定义: 若 $<u,v>$=0,则称u,v是正交的
正交的性质
- 0正交于V中的任意向量
- 0是V中唯一与自身正交的向量
正交分解
规范正交基
定义:一个向量组中的每个向量的范数都是1且与其他向量正交,则称这个向量组是规范正交的
some important of this chapter
important 格拉姆施密特正交化
v1,….vm是线性无关向量组。设e1=v1/||v1||,对于ej,j=2….m,
定义ej如下:ej=$\frac{(vj-<vj,e1>e1-….<vj,ej-1>ej-1)}{||vj-<vj,e1>e1-….<vj,ej-1>ej-1||}$
important 将向量写成规范正交基的线性组合
设e1,…..en是V的规范正交基
则v=$<v,e1>$e1+….$<v,en>$en
且||v||$^2$=|$<v,e1>$|$^2$+…+|$<v,en>$|$^2$
规范正交组是线性无关的
适当长度的规范正交组是规范正交基
有限维内积空间中规范正交基的存在性
规范正交组扩充为规范正交基
关于规范正交基的上三角矩阵
舒尔定理
- 结合上一个定理与复向量空间中算子关于某个基有上三角矩阵
内积空间上的线性泛函
里斯表示定理
- 设V是有限维的,且$\phi$是V上的线性泛函,则存在唯一的向量u∈V使得对每个v∈V均有$\phi$(v)=$<v,u>$
- v=$<v,e1>$e1+….$<v,en>$en
- 取u = $\overline{\phi(e1)}$e1+…..+$\overline{\phi(en)}$en
正交补与极小化问题
正交补
正交补定义
U是V的子集,U的正交补U$^\perp$={v∈V:对每个u属于U,均有$<v,u>$=0}
正交补基本性质
- U$^\perp$是V的子空间
- {0}$^\perp$=V
- V$^\perp$={0}
- 若U是V的子集,则U∩U$^\perp$含于{0}
- U含于W,则W$^\perp$含于U$^\perp$
正交补的补充性质
- 子空间与其正交补的直和为V
- dimU$^\perp$=dimV-dimU
- 正交补的正交补为原空间
极小化问题
正交投影的定义
Pu定义如下:对v∈V,将其写成v=u+w,其中u∈U且w∈U$^\perp$,则Pu(v)=u
正交投影Pu的性质
- range Pu=U
- null Pu=U$^\perp$
- v-Puv∈U$^\perp$
- ||Puv||≤||v||
- 对U的每个规范正交基e1,….em均有Puv=$<v,e1>$e1+….$<v,em>$em
到子空间的最小距离
设U是V的有限子空间,v∈V且u∈U,则||v-Puv||≤||v-u||,等号成立时当且仅当Puv=u
内积空间上的算子
自伴算子与正规算子
伴随
伴随的定义
T的伴随定义为T$^*$:对所有v∈V和所有w属于W均有$<Tv,w>$=$<v,T$*$w>$
伴随的性质
自伴算子
自伴算子的本征值是实的
仅自伴算子才能使$<Tv,v>$都是实数
若T自伴,且对所有v均有$<Tv,v>$=0,则T=0
正规算子
T是正规的当且仅当对所有v均有||Tv||=||T$^*$v||
T与T$^*$有相同的本征向量只是本征值呈共轭状态
正规算子相对于不同本征值的本征向量正交
谱定理
复谱定理
设F=C,三个条件等价:
- T是正规的
- V有一个由T的本征向量组成的规范正交基
- T关于V的某个规范正交基有对角矩阵
实谱定理
- T是自伴的
- V有一个由T的本征向量组成的规范正交基
- T关于V的某个规范正交基具有对角矩阵
正算子与等距同构
正算子
正算子的定义
T是自伴的,且对所有v∈V,均有$<Tv,v>$≥0
正算子的刻画
下述条件等价:
- T是正的
- T是自伴的且T的所有本征值非负
- T有正的平方根
- T有自伴的平方根
- 存在算子R使得T=R*R
每个正算子都有唯一的正平方根
等距同构
等距同构的定义
对所有v,均有||Sv||=||v||
等距同构的刻画
下述条件等价:
- S是等距同构
- 对所有v,u有$<Su,Sv>$=$<u,v>$
- 保持规范正交组的规范正交性
- S*S=I
- SS*=I
- S*是等距同构
- S是可逆的,且S*=S$^{-1}$
极分解和奇异值分解
积分解
一个记号
$\sqrt{T}$表示T的唯一正平方根
极分解
设T∈L(V),则有一个等距同构S使得T=S$\sqrt{T^*T}$
奇异值分解
奇异值的定义
T的奇异值是$\sqrt{T^T}$的本征值,而且每个本征值$\lambda$都要重复dim E($\lambda$,$\sqrt{T^T}$)次
奇异值分解喵
设T有奇异值s1,…..sn,则V有两个规范正交基e1,…..en和f1,…..fn使得对每个v∈V均有Tv=s1$<v,e1>$f1+…..+sn$<v,en>$fn