数值分析
数值分析前辈笔记
数值分析评分机制
- 评分机制:
lab(36)+quiz(4)+research topics(15)+hw(5)+final exam(40);
quiz:两次，代替课堂点名
topics:3-4个人进行组队，从18个主题中选择进行展示
其中10分为正确性，5分为ppt的清晰程度。
final exam:开卷考试，建议使用翻译版。
数值分析概览
我们需要学习什么
将复杂函数转化为加减乘除运算最终来逼近结果(因为电脑本身只能进行加减乘除)
虽然计算机运行库已经包装好一些函数，我们现在研究最底层的原理。
数值分析内容
chapter1 mathematic preliminaries
1.2 roundoff error
- 讨论：$\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx$
解决:利用泰勒展开=$1-x^2+x^4/3-x^8/6$
转化为多项式以后直接采用牛顿莱布尼茨公式
计算机本身表达浮点数的缺陷：舍入误差 roundoff error
在我们进行计算时，只截取一部分进行计算：截断误差 truncation error
normalized decimal floating-point form of a real number 0.d1d2…dk*$10^n$
对于超过计算机有限位数的浮点数，计算机采用舍入或进位保证位数，在计算机的存储范围以内。若$p^*$是p的近似值
定义:绝对误差$|p-p^*|$
定义相对误差$|p-p^*|/p$
设t是满足下列不等式的最大值:相对误差小于5*10^{-t}，称p星将p近似到t位导致舍入误差不可忽视的两种经典情况：
两个几乎相等的数相减
除以一个很小的数 / 乘上一个很大的数在数值运算的过程中，尽量减少乘除的次数，来减少误差
常采用因式分解的方法来增加加减，减少乘除
1.3 algorithm and convergence
算法的稳定性：根据输入的变化，观察输出的变化
如果仅对输入数据在一定范围内满足条件，则称为条件稳定误差的增长速度，一般来说线性误差增长是可接受的，而指数误差增长不可接受(exponential)
chapter2 find the root of the equation
二分法
- 在最终设置小量来约束结果时，最好使用相对误差来确定收敛停止
因为在工程过程中，相对误差可以采用定量的小量来满足不同量级的数据的要求
不动点迭代
- 收敛定理: 连续有界且(对任意x在区间中，存在k在$(0,1)$,导数(x)的abs小于等于k)
- proof:1. 不动点存在在区间内
2. 再证明唯一性（利用反证，假设有两个不动点）
3. 利用拉格朗日中值定律进行变换公式用来对$|p-p_{n}|$进行收缩 - 也可以得到利用不动点迭代最终的逼近的绝对误差
newtons method
- 定理(什么时候工作)：二阶连续，如果$P∈[a,b]，满足f(p)==0，并且其导数不等于零，那么存在初始近似的p_{0}的牛顿迭代收敛$
- 初始化的位置的选取可以通过二分法进行选取，否则可能会出现并没有达到收敛的效果